¿Qué forma tiene una circunferencia?

Como se puede observar en la imagen que abre este post estamos ante dos circunferencias.

"¿Qué?" "¿Cómo?" "¡¡Éste está loco!!" Tranquilos os demostraré que es cierto.

La gran mayoría de las personas, entre las que me incluyo, únicamente conocen la distancia euclidea. Pero no es la única. Veamos un ejemplo.

Imaginémonos que estamos en una calle en un punto A y queremos ir un punto B. Obviamente nos vamos a ir por encima de los edificios y tendremos que ir atravesando las calles hasta llegar hasta nuestro destino. Supongamos que cada cuadrado (edificio) es 1 unidad. Por tanto, el camino más corto, vayas por donde vayas, es 6 unidades (existen 15 posibilidades diferentes que tienen esta misma distancia). He aquí otro tipo de distancia, lo que se conoce como distancia del taxi, taxi-distancia, distancia de Manhattan o distancia de Minkowski, en honor a su descubridor Hermann Minkowski.

La distancia euclidea de la que hablaba antes es la distancia más corta que hay entre A y B, y es la diagonal que aparece en la imagen. Por el teorema de Pitágoras, considerando que las longitudes de los catetos son 2 y 4, esta distancia es de 4,47 unidades. Obviamente es menor que la taxi-distancia, que recordemos era 6 unidades.

Sabiendo ya que existen otros tipos de distancias estamos listos para demostrar que la primera de las imágenes que mostramos contiene dos circunferencias.

Lo primero que tenemos que tener claro es la definición de circunferencia:

"Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo"

Este punto fijo se denomina centro y el valor de la equidistancia es la longitud del radio.

En la circunferencia de toda la vida esto lo tenemos más que claro, y vemos en la imagen que el centro de la circunferencia es el punto (-3,3) y el radio es 3. Ésta se ha realizado considerando la distancia euclidea.

Pero, ¿qué sucede si construimos una figura con estas restricciones basándonos en la taxi-distancia? ¡Se obtiene la otra circunferencia! Se puede comprobar que efectivamente cualquier punto P de esta circunferencia en taxi-distancia equidista del centro la longitud del radio, que en este caso es 3.

Por tanto mi afirmación queda demostrada.

Referencias | Cuando las rectas se vuelven curvas - Las geometrías no euclideas de Joan Gómez