Copo de Nieve de Koch o de como una longitud infinita puede encerrar una superficie finita

En primer lugar tendremos que saber un poco acerca de quién es Koch.

Niels Fabian Helge von Koch (Estocolmo, 25 de enero de 1870 - 11 de marzo de 1924) fue un matemático sueco, cuyo nombre se ha asignado a una famosa curva fractal llamada curva Copo de nieve de Koch, una de las primeras curvas fractales en ser descritas.

Von Koch escribió muchos artículos sobre teoría de números. Uno de sus resultados (1901) fue el teorema que probaba que la hipótesis de Riemann es equivalente al Teorema de los números primos. Describió la curva que lleva su nombre Koch en un artículo del año 1904 titulado "Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental."

¿Qué es una curva fractal?

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen todas las siguientes características:

• Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
• Posee detalle a cualquier escala de observación.
• Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística).
• Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
• Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

¿Qué es el Copo de Nieve de Koch?

Para su construcción se comienza con un triángulo equilátero (supongamos que sus lados son de longitud 1). En el centro de cada lado se añade otro nuevo triángulo equilátero de lado 1/3 del anterior, obteniendo así una bonita estrella de David (Nivel 1). Si seguimos con este proceso una y otra vez el resultado nos irá recordando a un perfecto copo de nieve.

La longitud del perímetro

Esta parte es obvia.

Partimos del triángulo equilátero de lado 1 (Nivel 0). Dividimos uno de sus lados en 3 segmentos iguales y tendremos segmentos de longitud 1/3. Quitamos el segmento del centro, por lo tanto nos quedan 2/3 de la longitud total del lado. Ahora, formando un triángulo equilátero sobre el hueco que queda tendremos una línea quebrada de longitud 4/3. Veámoslo con un gráfico y quedará totalmente claro.

Podemos notar pues que la longitud ha aumentado 1/3 de la longitud inicial.

Esto lo aplicamos a cada uno de los lados del triángulo del que partimos y tendremos la figura de nivel 1. Recursivamente, lo aplicamos a todos los lados de los triángulos que van surgiendo.

Matemáticamente se puede demostrar que se obtiene una serie geométrica de razón |r|>1, que diverge y tiende a infinito. Pero creo que gráficamente se puede ver que la longitud irá aumentando en cada iteración y por lo tanto se disparará hasta infinito.

La superficie encerrada

En este punto, la conclusión no se obtiene de forma gráfica y se debe tener fe en la explicación (que no demostración) matemática. En cualquier caso, voy a tratar de explicarlo.

Partimos del triángulo de nivel 0, al que le suponemos un área A. A este triángulo, cuando pasamos al nivel 1, se le agregan 3 triángulos de superficie 1/9, por lo que la superficie total añadida es 3/9 ó 1/3. Al siguiente, siguiendo el mismo razonamiento, se le agregan "triangulitos" de área (1/9)/9, es decir, 1/81 y así sucesivamente. Pues bien, si obtenemos la serie cuando el número de iteraciones tiende infinito, conseguiremos una serie geométrica de razón |r|<1, que converge a A*8/5 y por lo tanto la superficie encerrada es finita.

Referencia | Copo de Nieve de Koch