La dualidad onda-corpúsculo

Aquí os dejo un vídeo con el que muestra el doble comportamiento de la luz.

¿Qué forma tiene una circunferencia?

Como se puede observar en la imagen que abre este post estamos ante dos circunferencias.

"¿Qué?" "¿Cómo?" "¡¡Éste está loco!!" Tranquilos os demostraré que es cierto.

La gran mayoría de las personas, entre las que me incluyo, únicamente conocen la distancia euclidea. Pero no es la única. Veamos un ejemplo.

Imaginémonos que estamos en una calle en un punto A y queremos ir un punto B. Obviamente nos vamos a ir por encima de los edificios y tendremos que ir atravesando las calles hasta llegar hasta nuestro destino. Supongamos que cada cuadrado (edificio) es 1 unidad. Por tanto, el camino más corto, vayas por donde vayas, es 6 unidades (existen 15 posibilidades diferentes que tienen esta misma distancia). He aquí otro tipo de distancia, lo que se conoce como distancia del taxi, taxi-distancia, distancia de Manhattan o distancia de Minkowski, en honor a su descubridor Hermann Minkowski.

La distancia euclidea de la que hablaba antes es la distancia más corta que hay entre A y B, y es la diagonal que aparece en la imagen. Por el teorema de Pitágoras, considerando que las longitudes de los catetos son 2 y 4, esta distancia es de 4,47 unidades. Obviamente es menor que la taxi-distancia, que recordemos era 6 unidades.

Sabiendo ya que existen otros tipos de distancias estamos listos para demostrar que la primera de las imágenes que mostramos contiene dos circunferencias.

Lo primero que tenemos que tener claro es la definición de circunferencia:

"Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo"

Este punto fijo se denomina centro y el valor de la equidistancia es la longitud del radio.

En la circunferencia de toda la vida esto lo tenemos más que claro, y vemos en la imagen que el centro de la circunferencia es el punto (-3,3) y el radio es 3. Ésta se ha realizado considerando la distancia euclidea.

Pero, ¿qué sucede si construimos una figura con estas restricciones basándonos en la taxi-distancia? ¡Se obtiene la otra circunferencia! Se puede comprobar que efectivamente cualquier punto P de esta circunferencia en taxi-distancia equidista del centro la longitud del radio, que en este caso es 3.

Por tanto mi afirmación queda demostrada.

Referencias | Cuando las rectas se vuelven curvas - Las geometrías no euclideas de Joan Gómez

Máxima Seguridad

Antes de comenzar con el desarrollo de esta entrada quiero destacar el libro Los números primos - Un largo camino al infinito de Enrique Gracián. Se trata de un libro que forma parte de la colección El mundo es matemático de RBA Coleccionables. Supongo que estará disponible en cualquier librería tipo Casa del Libro o similar. De los tres ejemplares que llevo leídos, éste es sin duda el que más me ha llamado la atención: está muy bien estructurado, con explicaciones claras sobre problemas complicados, referencias a los más grandes exponentes sobre la materia, curiosidades, anécdotas... Espero que los siguientes ejemplares de la colección estén a la altura de éste (cosa que veo difícil), pero en cualquier caso, si te gustan las matemáticas, es una colección que no puedo dejar de recomendar.

Obviamente, el contenido de este post lo encontré en el libro arriba citado. Se trata de un post corto que simplemente publico a modo de curiosidad y porque me llamó mucho la atención.

Una vez dicho todo esto, metámonos en materia.

A día de hoy gran parte de las comunicaciones se hacen a través de internet. Todo el mundo sabe que la información no se transmite tal cual por la red, sino que precisa de diferentes sistemas de encriptación. Uno de los algoritmos que actualmente se usan para encriptar la información se basa en números primos extremadamente grandes (algoritmo RSA). Estos gigantescos números no son de ninguna de las maneras fáciles de encontrar. Existen diferentes empresas que se encargan de obtenerlos para posteriormente fabricar programas de encriptación y venderlos.

El gobierno de Estados Unidos sólo permite el uso de determimadas claves criptográficas en su territorio y en Canadá. Fuera de sus fronteras no se autoriza su venta (a no ser que sea una entidad financiera) considerándolo incluso como tráfico de armas. Las empresas que se dedican a la fabricación de los programas de encriptación almacenan las claves secretas en "pastillas" con unos sofisticados sistemas de seguridad. Si se abren, cuando entran en contacto con el oxígeno se solidifican en una masa informe; y si se intentan ver con rayos X, todo lo que hay escrito en ellas se convierte en ceros.

Un prodigio matemático: el calculista Zerah Colburn

Zerah Colburn (1804-1839) fue un niño prodigio del siglo XIX. Nacido en Cabot, Vermont y educado en Westminster School (Londres), se pensó hasta los 6-7 años de edad que era retrasado mental. Sin embargo, tras 6 semanas de escolarización su padre no paraba de oirle repetir constantemente las tablas de multiplicar. Pensó que lo había aprendido de sus hermanos mayores así que decidió hacerle un test para comprobar sus habilidades matemáticas. Cual fue su sorpresa cuando Zerah multiplicó correctamente 13 por 97.

Las habilidades de Colburn se desarrollaron rápidamente y pronto fue capaz de calcular, por ejemplo, cuantos segundos hay en 2.000 años, el producto entre 12.225 y 1.223, o la raíz cuadrada de 1.449. Con tan solo 7 años tardó la friolera de 6 segundos en calcular el número de horas en 38 años, 2 meses, y 7 días.

Zerah es conocido además por resolver complejos problemas como saber si el sexto número de Fermat, 4.294.967.297, es primo o no. Pues bien, calculó de cabeza que no es primo y que tiene el 641 como divisor (el otro divisor es 6.700.417 se puede calcular fácilmente con una calculadora).

Para terminar, os dejo otra de sus curiosas anécdotas que encontré en Los números primos - Un largo camino al infinito de Enrique Gracián. En cierta ocasión le pidieron a Colburn que calculara el producto entre 21.734 y 543. Casi al instante respondió 11.801.562. Alguien le preguntó que como lo había hecho, a lo que Zerah satisfecho contestó: "He visto que 543 es igual a tres veces 181. Entonces he multiplicado primero 21.734 por tres y luego el resultado por 181". Y todo esto con sólo ¡¡ 8 años !!

Referencia | Wikipedia (Zerah Colburn - Math Prodigy)

Copo de Nieve de Koch o de como una longitud infinita puede encerrar una superficie finita

En primer lugar tendremos que saber un poco acerca de quién es Koch.

Niels Fabian Helge von Koch (Estocolmo, 25 de enero de 1870 - 11 de marzo de 1924) fue un matemático sueco, cuyo nombre se ha asignado a una famosa curva fractal llamada curva Copo de nieve de Koch, una de las primeras curvas fractales en ser descritas.

Von Koch escribió muchos artículos sobre teoría de números. Uno de sus resultados (1901) fue el teorema que probaba que la hipótesis de Riemann es equivalente al Teorema de los números primos. Describió la curva que lleva su nombre Koch en un artículo del año 1904 titulado "Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental."

¿Qué es una curva fractal?

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen todas las siguientes características:

• Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
• Posee detalle a cualquier escala de observación.
• Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística).
• Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
• Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

¿Qué es el Copo de Nieve de Koch?

Para su construcción se comienza con un triángulo equilátero (supongamos que sus lados son de longitud 1). En el centro de cada lado se añade otro nuevo triángulo equilátero de lado 1/3 del anterior, obteniendo así una bonita estrella de David (Nivel 1). Si seguimos con este proceso una y otra vez el resultado nos irá recordando a un perfecto copo de nieve.

La longitud del perímetro

Esta parte es obvia.

Partimos del triángulo equilátero de lado 1 (Nivel 0). Dividimos uno de sus lados en 3 segmentos iguales y tendremos segmentos de longitud 1/3. Quitamos el segmento del centro, por lo tanto nos quedan 2/3 de la longitud total del lado. Ahora, formando un triángulo equilátero sobre el hueco que queda tendremos una línea quebrada de longitud 4/3. Veámoslo con un gráfico y quedará totalmente claro.

Podemos notar pues que la longitud ha aumentado 1/3 de la longitud inicial.

Esto lo aplicamos a cada uno de los lados del triángulo del que partimos y tendremos la figura de nivel 1. Recursivamente, lo aplicamos a todos los lados de los triángulos que van surgiendo.

Matemáticamente se puede demostrar que se obtiene una serie geométrica de razón |r|>1, que diverge y tiende a infinito. Pero creo que gráficamente se puede ver que la longitud irá aumentando en cada iteración y por lo tanto se disparará hasta infinito.

La superficie encerrada

En este punto, la conclusión no se obtiene de forma gráfica y se debe tener fe en la explicación (que no demostración) matemática. En cualquier caso, voy a tratar de explicarlo.

Partimos del triángulo de nivel 0, al que le suponemos un área A. A este triángulo, cuando pasamos al nivel 1, se le agregan 3 triángulos de superficie 1/9, por lo que la superficie total añadida es 3/9 ó 1/3. Al siguiente, siguiendo el mismo razonamiento, se le agregan "triangulitos" de área (1/9)/9, es decir, 1/81 y así sucesivamente. Pues bien, si obtenemos la serie cuando el número de iteraciones tiende infinito, conseguiremos una serie geométrica de razón |r|<1, que converge a A*8/5 y por lo tanto la superficie encerrada es finita.

Referencia | Copo de Nieve de Koch